Selasa, 21 Mei 2013

Limit dan kecil tak terhingga

Artikel utama untuk bagian ini adalah: Limit

Definisi limit: kita katakan bahwa limit f(x) ketika x mendekati titik p adalah L apabila untuk setiap bilangan ε > 0 apapun, terdapat bilangan δ > 0, sedemikian rupanya: $0 < |x-p| <\delta \Rightarrow |f(x)-L|<\epsilon$

Kalkulus pada umumnya dikembangkan dengan memanipulasi sejumlah kuantitas yang sangat kecil. Objek ini, yang dapat diperlakukan sebagai angka, adalah sangat kecil. Sebuah bilangan dx yang kecilnya tak terhingga dapat lebih besar daripada 0, namun lebih kecil daripada bilangan apapun pada deret 1, ½, ⅓, ... dan bilangan real positif apapun. Setiap perkalian dengan kecil tak terhingga (infinitesimal) tetaplah kecil tak terhingga, dengan kata lain kecil tak terhingga tidak memenuhi properti Archimedes. Dari sudut pandang ini, kalkulus adalah sekumpulan teknik untuk memanipulasi kecil tak terhingga.
Pada abad ke-19, konsep kecil tak terhingga ini ditinggalkan karena tidak cukup cermat, sebaliknya ia digantikan oleh konsep limit. Limit menjelaskan nilai suatu fungsi pada nilai input tertentu dengan hasil dari nilai input terdekat. Dari sudut pandang ini, kalkulus adalah sekumpulan teknik memanipulasi limit-limit tertentu. Secara cermat, definisi limit suatu fungsi adalah:

Diberikan fungsi f(x) yang terdefinisikan pada interval di sekitar p, terkecuali mungkin pada p itu sendiri. Kita mengatakan bahwa limit f(x) ketika x mendekati p adalah L, dan menuliskan:

$\lim_{x \to p}{f(x)}=L$
jika, untuk setiap bilangan ε > 0, terdapat bilangan δ > 0 yang berkoresponden dengannya sedemikian rupanya untuk setiap x:
$0 < |x-p| <\delta \Rightarrow |f(x)-L|<\epsilon \,$

Turunan

Artikel utama untuk bagian ini adalah: Turunan

Grafik fungsi turunan.

Turunan dari suatu fungsi mewakili perubahan yang sangat kecil dari fungsi tersebut terhadap variabelnya. Proses menemukan turunan dari suatu fungsi disebut sebagai pendiferensialan ataupun diferensiasi.
Secara matematis, turunan fungsi ƒ(x) terhadap variabel x adalah ƒ′ yang nilainya pada titik x adalah:

$f'(x)=\lim_{h \to 0}{f(x+h) - f(x)\over{h}}$ ,

dengan syarat limit tersebut eksis. Jika ƒ′ eksis pada titik x tertentu, kita katakan bahwa ƒ terdiferensialkan (memiliki turunan) pada x, dan jika ƒ′ eksis di setiap titik pada domain ƒ, kita sebut ƒ terdiferensialkan.
Apabila z = x + h, h = z - x, dan h mendekati 0 jika dan hanya jika z mendekati x, maka definisi turunan di atas dapat pula kita tulis sebagai:

$f'(x)=\lim_{z \to x}{f(z) - f(x)\over{z-x}}$

Garis singgung pada (x, f(x)). Turunan f'(x) sebuah kurva pada sebuah titik adalah kemiringan dari garis singgung yang menyinggung kurva pada titik tersebut.

Perhatikan bahwa ekspresi ${f(x+h) - f(x)\over{h}}$ pada definisi turunan di atas merupakan gradien dari garis sekan yang melewati titik (x,ƒ(x)) dan (x+h,ƒ(x)) pada kurva ƒ(x). Apabila kita mengambil limit h mendekati 0, maka kita akan mendapatkan kemiringan dari garis singgung yang menyinggung kurva ƒ(x) pada titik x. Hal ini berarti pula garis singgung suatu kurva merupakan limit dari garis sekan, demikian pulanya turunan dari suatu fungsi ƒ(x) merupakan gradien dari fungsi tersebut.
Sebagai contoh, untuk menemukan gradien dari fungsi $f(x)=x^2$ pada titik (3,9):

$\begin{align} f'(3)&=\lim_{h \to 0}{(3+h)^2 - 9\over{h}} \\ &=\lim_{h \to 0}{9 + 6h + h^2 - 9\over{h}} \\ &=\lim_{h \to 0}{6h + h^2\over{h}} \\ &=\lim_{h \to 0} (6 + h) \\ &= 6 \end{align}$

Ilmu yang mempelajari definisi, properti, dan aplikasi dari turunan atau kemiringan dari sebuah grafik disebut kalkulus diferensial

Garis singgung sebagai limit dari garis sekan. Turunan dari kurva f(x) di suatu titik adalah kemiringan dari garis singgung yang menyinggung kurva pada titik tersebut. Kemiringan ini ditentukan dengan memakai nilai limit dari kemiringan garis sekan.

Notasi pendiferensialan

Terdapat berbagai macam notasi matematika yang dapat digunakan digunakan untuk menyatakan turunan, meliputi notasi Leibniz, notasi Lagrange, notasi Newton, dan notasi Euler.
Notasi Leibniz diperkenalkan oleh Gottfried Leibniz dan merupakan salah satu notasi yang paling awal digunakan. Ia sering digunakan terutama ketika hubungan antar y = ƒ(x) dipandang sebagai hubungan fungsional antara variabel bebas dengan variabel terikat. Turunan dari fungsi tersebut terhadap x ditulis sebagai:

$\frac{dy}{dx},\quad\frac{d f}{dx}(x),$ ataupun $\frac{d}{dx}f(x).$

Notasi Lagrange diperkenalkan oleh Joseph Louis Lagrange dan merupakan notasi yang paling sering digunakan. Dalam notasi ini, turunan fungsi ƒ(x) ditulis sebagai ƒ′(x) ataupun hanya ƒ′.
Notasi Newton, juga disebut sebagai notasi titik, menempatkan titik di atas fungsi untuk menandakan turunan. Apabila y = ƒ(t), maka $\dot{y}$ mewakili turunan y terhadap t. Notasi ini hampir secara eksklusif digunakan untuk melambangkan turunan terhadap waktu. Notasi ini sering terlihat dalam bidang fisika dan bidang matematika yang berhubungan dengan fisika.
Notasi Euler menggunakan operator diferensial D yang diterapkan pada fungsi ƒ untuk memberikan turunan pertamanya Df. Apabila y = ƒ(x) adalah variabel terikat, maka sering kali x dilekatkan pada D untuk mengklarifikasikan keterbebasan variabel x. Notasi Euler kemudian ditulis sebagai:

$D_x y\,$ atau $D_x f(x)\,$ .

Notasi Euler ini sering digunakan dalam menyelesaikan persamaan diferensial linear.

	Notasi Leibniz	Notasi Lagrange	Notasi Newton	Notasi Euler
Turunan ƒ(x) terhadap x	$\frac{d}{dx}f(x)$	ƒ′(x)	$\dot{y}$ dengan y = ƒ(x)	$D_x f(x)\,$

Integral

Artikel utama untuk bagian ini adalah: Integral

Integral dapat dianggap sebagai perhitungan luas daerah di bawah kurva ƒ(x), antara dua titik a dan b.

Integral merupakan suatu objek matematika yang dapat diinterpretasikan sebagai luas wilayah ataupun generalisasi suatu wilayah. Proses menemukan integral suatu fungsi disebut sebagai pengintegralan ataupun integrasi. Integral dibagi menjadi dua, yaitu: integral tertentu dan integral tak tentu. Notasi matematika yang digunakan untuk menyatakan integral adalah $\int \,$ , seperti huruf S yang memanjang (S singkatan dari "Sum" yang berarti penjumlahan).

Integral tertentu

Diberikan suatu fungsi ƒ bervariabel real x dan interval antara [a, b] pada garis real, integral tertentu:

$\int_a^b f(x)\,dx \, ,$

secara informal didefinisikan sebagai luas wilayah pada bidang xy yang dibatasi oleh kurva grafik ƒ, sumbu-x, dan garis vertikal x = a dan x = b.
Pada notasi integral di atas: a adalah batas bawah dan b adalah batas atas yang menentukan domain pengintegralan, ƒ adalah integran yang akan dievaluasi terhadap x pada interval [a,b], dan dx adalah variabel pengintegralan.

Seiring dengan semakin banyaknya subinterval dan semakin sempitnya lebar subinterval yang diambil, luas keseluruhan batangan akan semakin mendekati luas daerah di bawah kurva.

Terdapat berbagai jenis pendefinisian formal integral tertentu, namun yang paling umumnya digunakan adalah definisi integral Riemann. Integral Rieman didefinisikan sebagai limit dari penjumlahan Riemann. Misalkanlah kita hendak mencari luas daerah yang dibatasi oleh fungsi ƒ pada interval tertutup [a,b]. Dalam mencari luas daerah tersebut, interval [a,b] dapat kita bagi menjadi banyak subinterval yang lebarnya tidak perlu sama, dan kita memilih sejumlah n-1 titik {x₁, x₂, x₃,..., x_{n - 1}} antara a dengan b sehingga memenuhi hubungan:

$a = x_0 \le x_1 \le x_2 \le \cdots \le x_{n-1} \le x_n = b . \,\!$

Himpunan $P = \{x_0, x_1, x_2, \ldots, x_{n-1}, x_n\}\,$ tersebut kita sebut sebagai partisi [a,b], yang membagi [a,b] menjadi sejumlah n subinterval $[x_0, x_1], [x_1,x_2], \ldots, [x_{n-1}, x_n]$ . Lebar subinterval pertama [x₀,x₁] kita nyatakan sebagai Δx₁, demikian pula lebar subinterval ke-i kita nyatakan sebagai Δx_i = x_i - x_{i - 1}. Pada tiap-tiap subinterval inilah kita pilih suatu titik sembarang dan pada subinterval ke-i tersebut kita memilih titik sembarang t_i. Maka pada tiap-tiap subinterval akan terdapat batangan persegi panjang yang lebarnya sebesar Δx dan tingginya berawal dari sumbu x sampai menyentuh titik (t_i, ƒ(t_i)) pada kurva. Apabila kita menghitung luas tiap-tiap batangan tersebut dengan mengalikan ƒ(t_i)· Δx_i dan menjumlahkan keseluruhan luas daerah batangan tersebut, kita akan dapatkan:

$S_p = \sum_{i=1}^{n} f(t_i) \Delta x_i$

Penjumlahan S_p disebut sebagai penjumlahan Riemann untuk ƒ pada interval [a,b]. Perhatikan bahwa semakin kecil subinterval partisi yang kita ambil, hasil penjumlahan Riemann ini akan semakin mendekati nilai luas daerah yang kita inginkan. Apabila kita mengambil limit dari norma partisi $\lVert P \rVert$ mendekati nol, maka kita akan mendapatkan luas daerah tersebut.
Secara cermat, definisi integral tertentu sebagai limit dari penjumlahan Riemann adalah:

Diberikan ƒ(x) sebagai fungsi yang terdefinisikan pada interval tertutup [a,b]. Kita katakan bahwa bilangan I adalah integral tertentu ƒ di sepanjang [a,b] dan bahwa I adalah limit dari penjumlahan Riemann $\sum_{i=1}^{n} f(t_i) \Delta x_i$ apabila kondisi berikut dipenuhi: Untuk setiap bilangan ε > 0 apapun terdapat sebuah bilangan δ > 0 yang berkorespondensi dengannya sedemikian rupanya untuk setiap partisi $P = \{ x_0, x_1, \ldots, x_n \}$ di sepanjang [a,b] dengan $\lVert P \rVert < \delta$ dan pilihan t_i apapun pada [x_{k - 1}, t_i], kita dapatkan

$\left|\sum_{i=1}^{n} f(t_i)\Delta x_i - I \right| < \epsilon.$

Secara matematis dapat kita tuliskan:

$\lim_{\lVert P \rVert \to 0}\sum_{i=1}^n f(t_i) \Delta x_i = I = \int_a^b f(x)\,dx$

Apabila tiap-tiap partisi mempunyai sejumlah n subinterval yang sama, maka lebar Δx = (b-a)/n, sehingga persamaan di atas dapat pula kita tulis sebagai:

$\lim_{n \to \infty}\sum_{i=1}^n f(t_i) \Delta x = I = \int_a^b f(x)\,dx$

Limit ini selalu diambil ketika norma partisi mendekati nol dan jumlah subinterval yang ada mendekati tak terhingga banyaknya.

Contoh

Sebagai contohnya, apabila kita hendak menghitung integral tertentu $\int_0^b x\, dx$ , yakni mencari luas daerah A dibawah kurva y=x pada interval [0,b], b>0, maka perhitungan integral tertentu $\int_0^b x\, dx$ sebagai limit dari penjumlahan Riemannnya adalah $\lim_{\lVert P \rVert \to 0}\sum_{i=1}^n f(t_i) \Delta x_i$
Pemilihan partisi ataupun titik t_i secara sembarang akan menghasilkan nilai yang sama sepanjang norma partisi tersebut mendekati nol. Apabila kita memilih partisi P membagi-bagi interval [0,b] menjadi n subinterval yang berlebar sama Δx = (b - 0)/n = b/n dan titik t'_i yang dipilih adalah titik akhir kiri setiap subinterval, partisi yang kita dapatkan adalah:

$P = \{0, \frac{b}{n}, \frac{2b}{n}, \frac{3b}{n}, \ldots, \frac{nb}{n}\}$ dan $t_i = \frac{ib}{n}$ , sehingga:

$\begin{align} \int_0^b f(x)\, dx &= \lim_{n \to \infty}\sum_{i=1}^n f(t_i) \Delta x\\ &= \lim_{n \to \infty}\sum_{i=1}^n \frac{ib}{n}.\frac{b}{n} \\ &= \lim_{n \to \infty}\sum_{i=1}^n \frac{ib^2}{n^2} \\ &= \lim_{n \to \infty}\frac {b^2}{n^2}\sum_{i=1}^n i \\ &= \lim_{n \to \infty}\frac {b^2}{n^2} . \frac{n(n+1)}{2}\\ &= \lim_{n \to \infty}\frac {b^2}{2} (1+\frac{1}{n}) \\ \end{align}$

Seiring dengan n mendekati tak terhingga dan norma partisi $\lVert P \rVert$ mendekati 0, maka didapatkan:

$\int_0^b f(x)\, dx = A = \frac {b^2}{2}$

Dalam prakteknya, penerapan definisi integral tertentu dalam mencari nilai integral tertentu tersebut jarang sekali digunakan karena tidak praktis. Teorema dasar kalkulus (lihat bagian bawah) memberikan cara yang lebih praktis dalam mencari nilai integral tertentu.

Integral tak tentu

Manakala integral tertentu adalah sebuah bilangan yang besarnya ditentukan dengan mengambil limit penjumlahan Riemann, yang diasosiasikan dengan partisi interval tertutup yang norma partisinya mendekati nol, teorema dasar kalkulus (lihat bagian bawah) menyatakan bahwa integral tertentu sebuah fungsi kontinu dapat dihitung dengan mudah apabila kita dapat mencari antiturunan/antiderivatif fungsi tersebut.

Apabila

$F'\!(x) =\frac {d}{dx} F(x) = f(x).$
Keseluruhan himpunan antiturunan/antiderivatif sebuah fungsi ƒ adalah integral tak tentu ataupun primitif dari ƒ terhadap x dan dituliskan secara matematis sebagai:
$\int f(x) dx = F(x) + C$

Ekspresi F(x) + C adalah antiderivatif umum ƒ dan C adalah konstanta sembarang.
Misalkan terdapat sebuah fungsi $f(x) = x^2$ , maka integral tak tentu ataupun antiturunan dari fungsi tersebut adalah:

$\int x^2 dx = \frac{1}{3} x^3 + C$

Perhatikan bahwa integral tertentu berbeda dengan integral tak tentu. Integral tertentu dalam bentuk $\int_a^b f(x) dx$ adalah sebuah bilangan, manakala integral tak tentu : $\int f(x) dx$ adalah sebuah fungsi yang memiliki tambahan konstanta sembarang C.

Teorema dasar

Artikel utama untuk bagian ini adalah: Teorema dasar kalkulus

Teorema dasar kalkulus menyatakan bahwa turunan dan integral adalah dua operasi yang saling berlawanan. Lebih tepatnya, teorema ini menghubungkan nilai dari anti derivatif dengan integral tertentu. Karena lebih mudah menghitung sebuah anti derivatif daripada menerapkan definisi integral tertentu, teorema dasar kalkulus memberikan cara yang praktis dalam menghitung integral tertentu.
Teorema dasar kalkulus menyatakan:

Jika sebuah fungsi f adalah kontinu pada interval [a,b] dan jika F adalah fungsi yang mana turunannya adalah f pada interval (a,b), maka

$\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b) - F(a).$
Lebih lanjut, untuk setiap x di interval (a,b),
$F'(x) = \frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\, dt = f(x).$

Sebagai contohnya apabila kita hendak menghitung nilai integral $\int_a^b x\, dx$ , daripada menggunakan definisi integral tertentu sebagai limit dari penjumlahan Riemann (lihat bagian atas), kita dapat menggunakan teorema dasar kalkulus dalam menghitung nilai integral tersebut. Anti derivatif dari fungsi $f(x)= x\,$ adalah $F(x)= \frac{1}{2} x^2 + C$ . Oleh sebab itu, sesuai dengan teorema dasar kalkulus, nilai dari integral tertentu $\int_a^b x \,dx$ adalah:

$\begin{align} \int_{a}^{b} x\,dx &= F(b) - F(a) \\ &= \frac{1}{2} b^2 - \frac{1}{2} a^2 \\ \end{align}$

Apabila kita hendak mencari luas daerah A dibawah kurva y=x pada interval [0,b], b>0, maka kita akan dapatkan:

$\int_{0}^{b} x\,dx = \frac {b^2}{2}$

Perhatikan bahwa hasil yang kita dapatkan dengan menggunakan teorema dasar kalkulus ini adalah sama dengan hasil yang kita dapatkan dengan menerapkan definisi integral tertentu (lihat bagian atas). Oleh karena lebih praktis, teorema dasar kalkulus sering digunakan untuk mencari nilai integral tertentu.

Menghitung Effective Interest Rate Menggunakan Metode Numerik (Bagian 1)

Effective interest rate, yang jika diterjemahkan dalam bahasa Indonesia berarti suku bunga efektif, merupakan salah satu metode amortisasi yang digunakan dalam penerapan Pernyataan Standar Akuntansi Keuangan (PSAK) 50/55. Sebenarnya istilah effective interest rate tidak terbatas pada metode amortisasi saja, namun dalam tulisan ini saya akan membatasi penggunaannya dalam perhitungan jadwal amortisasi.

Metode amortisasi effective interest rate digunakan pada aset keuangan yang memiliki jadwal arus kas (estimated cash flow). Agar lebih mudah dipahami, maka saya akan memberikan contoh kasus sebagai berikut:

Pada tanggal 1 Januari 2011, sebuah bank memberikan kredit kepada nasabah sebesar Rp. 500.000.000,00 dengan suku bunga 12% per tahun. Nasabah harus membayar angsuran pokok kredit beserta bunganya setiap bulan selama 1 tahun. Jadwal pembayaran angsuran adalah sebagai berikut:

Tanggal	Angsuran Pokok	Angsuran Bunga	Total Angsuran Bulanan
1-Feb-2011	39.424.394,34	5.000.000,00	44.424.394,34
1-Mar-2011	39.818.638,28	4.605.756,06	44.424.394,34
1-Apr-2011	40.216.824,67	4.207.569,67	44.424.394,34
1-May-2011	40.618.992,91	3.805.401,43	44.424.394,34
1-Jun-2011	41.025.182,84	3.399.211,50	44.424.394,34
1-Jul-2011	41.435.434,67	2.988.959,67	44.424.394,34
1-Aug-2011	41.849.789,02	2.574.605,32	44.424.394,34
1-Sep-2011	42.268.286,91	2.156.107,43	44.424.394,34
1-Oct-2011	42.690.969,78	1.733.424,56	44.424.394,34
1-Nov-2011	43.117.879,47	1.306.514,87	44.424.394,34
1-Dec-2011	43.549.058,27	875.336,07	44.424.394,34
1-Jan-2012	43.984.548,85	439.845,49	44.424.394,34

Nasabah juga dikenakan provisi sebesar Rp. 5.000.000,00 pada saat pencairan kredit. Sebelum berlakunya efek PSAK 50/55, maka provisi tersebut langsung diakui sebagai pendapatan bank seluruhnya. Namun, setelah penerapan PSAK 50/55, jika nilai provisi tersebut dianggap material oleh bank, maka provisi tersebut harus diakui sebagai pendapatan secara bertahap oleh bank setiap bulan (sesuai tanggal jadwal pembayaran angsuran). Pertanyaannya adalah bagaimana menghitung nilai amortisasi bulanan dari provisi tersebut menggunakan metode effective interest rate?

Effective interest rate dihitung menggunakan rumus berikut:

di mana PV merupakan present value, CF₁ sampai CF_n merupakan cash flow dari periode 1 hingga n, dan EIR merupakan effective interest rate. Untuk kasus di atas PV adalah nilai kredit dikurangi provisi (500.000.000 – 5.000.000 = 495.000.000). CF₁ sampai dengan CF_n adalah angsuran bulanan pertama hingga terakhir (dalam kasus di atas total angsuran pokok dan bunga per bulan sama, yaitu 44.424.394,34).

Rumus di atas dapat diubah menjadi persamaan seperti berikut:

Terlihat bahwa persamaan di atas merupakan persamaan polinomial. Akar dari persamaan tersebut adalah x, dengan x = 1 + EIR. Kita dapat mencari akar tersebut menggunakan metode numerik. Ada banyak metode numerik yang bisa digunakan untuk menghitung akar persamaan polinomial seperti secant, bisection, Newton-Raphson, dan sebagainya. Kita dapat mengimplementasikan sendiri metode numerik tersebut atau menggunakan library yang sudah ada. Pada tulisan ini kita akan menggunakan bahasa pemrograman Java dan library Apache Math Commons. Untuk implementasi sendiri dari metode numerik tersebut mudah-mudahan dapat saya bahas pada tulisan selanjutnya.

METODE NUMERIK: Pengertian dan Kegunaan Metode Numerik

Beberapa definisi metode numerik dikemukakan ahli matematika, misalnya metode numerik adalah teknik di mana

masalah matematika diformulasikan sedemikian rupa sehingga dapat diselesaikan oleh pengoperasian aritmetika (Chapra dan Chanale, 1991); metode numerik adalah teknik -teknik yang digunakan untuk merumuskan masalah matematika agar dapat diselesaikan han ya dengan operasi hitungan, yang terdiri dari operasi tambah, kurang, kali dan bagi (Susila, 1994 ; Ibraheem dan Hisyam, 2003). Terdapat banyak jenis metode numerik, namun pada dasarnya, masing -masing metode tersebut memiliki karakteristik umum, yaitu selalu mencakup sejumlah kalkulasi aritmetika. Jadi metode numerik adalah suatu teknik untuk memformulasikan masalah matematika sehingga dapat diselesaikan dengan operasi aritmetika yang terdiri dari operasi tambah, kurang, kali dan bagi (Rochmad, 2011).
Di samping itu menurut Rochmad (2011) ada sejumlah alasan mengapa orang menggunakan metode numerik untuk memecahkan masalah yang dihadapinya. Beberapa alasan tersebut sebagai berikut.

Metode numerik merupakan suatu teknik untuk menyelesaikan masalah matematika yang efektif dan efisien. Dengan bantuan komputer ia sanggup menangani masalah yang rumit dan melibatkan perhitungan y ang luas, misalnya untuk memecahkan masalah solusi suatu persamaan tak linear, sistem persamaan yang besar, dan permasalahan lainnya termasuk dalam teknik dan sosial. Masalah yang sering sulit atau bahkan tidak mungkin dapat diselesaikan secara analitis dapat diselesaikan dengan metode numerik.
Saat ini terdapat berbagai paket program komputer (misalnya exel, maple, matlab, atau program paket lainnya) yang tersedia dan diperdagangkan sehingga mudah didapat yang dalam pengoperasiannya mencakup metode numerik. Dengan demikian, pemecah masalah tinggal menyesuaikan dengan karakteristik program paket tersebut dengan algortima yang digunakan dalam pemecahan masalah.
Apabila masalah yang dihadapi sulit diselesaikan dengan bantuan program paket komputer, maka pemecah masalah dapat menggunakan program komputer (misalnya basic, pascal, fortran, atau program komputer lainnya). Jika pemecah masalah mahir mendesain program sendiri, maka pemecah masalah dapat lebih leluasa dalam menggunakan metode numerik untuk memecahka n masalah yang dihadapinya.
Di sisi lain, metode numerik merupakan semacam sarana yang efisien untuk mengenal karakteristik komputer dan mendesain algoritma, diagram alur dan menulis program komputer sendiri.

Kata kunci artikel ini:

metode numerik, pengertian metode numerik, metode numerik adalah, pengertian numerik, Numerik, Metoda numerik, materi metode numerik, matematika numerik, contoh metode numerik, pengertian analisa numerik, metode numeric, air stripping adalah, pengertian numeric, jenis metode numerik, Pengertian matematika numerik, Definisi metode numerik, apa itu metode numerik, materi analisis numerik, metode numberik, manfaat metode numerik

Kata kunci artikel ini:

Artikel Yang Mungkin Berkaitan :

Propolis: Pengaruh Lokasi dan Musim Terhadap Sifat Propolis

Kajian Teknoekonomi Agroindustri Minuman Sari Tebu

Air Stripping: Pengertian, Prinsip dan Mekanisme

Air Stripper: Packed Material dalam Air Stripper

Kemasan Plastik Jenis Ramah Lingkungan Produksi PT Tirta Marta

Azon Profit Master Versi 3.1 Review

Senin, 20 Mei 2013

Form Pegawai

CODING :

Public Class Form1

Private Sub Form1_Load(ByVal sender As System.Object, ByVal e As System.EventArgs) Handles MyBase.Load

BuatTabel()

NIK.Items.Add("001")

NIK.Items.Add("002")

NIK.Items.Add("003")

Jabatan.Items.Add("Mandor")

Jabatan.Items.Add("Kepala Bagian")

Jabatan.Items.Add("Staf")

Status.Items.Add("Menikah")

Status.Items.Add("Tidak Menikah")

End Sub

Sub BuatTabel()

LV.Columns.Add("NIK", 80, HorizontalAlignment.Center)

LV.Columns.Add("Nama", 80, HorizontalAlignment.Center)

LV.Columns.Add("Jabatan", 100, HorizontalAlignment.Center)

LV.Columns.Add("Gaji", 80, HorizontalAlignment.Center)

LV.Columns.Add("Status", 100, HorizontalAlignment.Center)

LV.Columns.Add("Tunjangan", 80, HorizontalAlignment.Center)

LV.Columns.Add("Pajak", 80, HorizontalAlignment.Center)

LV.Columns.Add("Total", 80, HorizontalAlignment.Center)

LV.View = View.Details

LV.GridLines = True

LV.FullRowSelect = True

End Sub

Sub IsiTabel()

Dim lst As New ListViewItem

lst.Text = NIK.Text

lst.SubItems.Add(Nama.Text)

lst.SubItems.Add(Jabatan.Text)

lst.SubItems.Add(Gaji.Text)

lst.SubItems.Add(Status.Text)

lst.SubItems.Add(tunjKeluarga.Text)

lst.SubItems.Add(Pajak.Text)

lst.SubItems.Add(Total.Text)

LV.Items.Add(lst)

End Sub

Private Sub Jabatan_SelectedIndexChanged(ByVal sender As System.Object, ByVal e As System.EventArgs) Handles Jabatan.SelectedIndexChanged

Select Case Jabatan.Text

Case "Mandor" : Gaji.Text = 1750000

Case "Kepala Bagian" : Gaji.Text = 2500000

Case "Staf" : Gaji.Text = 1250000

End Select

Pajak.Text = 0.15 * Gaji.Text

End Sub

Private Sub NIK_SelectedIndexChanged(ByVal sender As System.Object, ByVal e As System.EventArgs) Handles NIK.SelectedIndexChanged

Select Case NIK.Text

Case "001" : Nama.Text = "oncom"

Case "002" : Nama.Text = "Udin"

Case "003" : Nama.Text = "Ujang"

End Select

End Sub

Private Sub Status_SelectedIndexChanged(ByVal sender As System.Object, ByVal e As System.EventArgs) Handles Status.SelectedIndexChanged

Select Case Status.Text

Case "Menikah" : tunjKeluarga.Text = 0.15 * Gaji.Text

Case "Tidak Menikah" : tunjKeluarga.Text = 0

End Select

End Sub

Private Sub BtnProses_Click(ByVal sender As System.Object, ByVal e As System.EventArgs) Handles BtnProses.Click

Total.Text = Val(Gaji.Text) + Val(tunjKeluarga.Text) - Val(Pajak.Text)

End Sub

Private Sub BtnKeluar_Click(ByVal sender As System.Object, ByVal e As System.EventArgs) Handles BtnKeluar.Click

End

End Sub

Private Sub LV_SelectedIndexChanged(ByVal sender As System.Object, ByVal e As System.EventArgs) Handles LV.SelectedIndexChanged

LV.Columns.Add("NIK", 80, HorizontalAlignment.Center)

End Sub

Private Sub Btnsimpan_Click(ByVal sender As System.Object, ByVal e As System.EventArgs) Handles Btnsimpan.Click

IsiTabel()

NIK.Text = ""

Nama.Text = ""

Jabatan.Text = ""

Gaji.Text = ""

Status.Text = ""

tunjKeluarga.Text = ""

Pajak.Text = ""

Total.Text = ""

End Sub

End Class

Jumat, 03 Mei 2013

Manfaat dan Kandungan Buah Semangka

18.51 kandungan semangka, kesehatan, manfaat semangka, semangka No comments

Semangka atau dalam bahasa latin Citrullus lanatus adalah buah yang tanamannya merambat. Semangka sendiri berasal dari Afrika bagian selatan. Buah semangka memiliki warna merah dan ada juga yang berwarna kuning, dengan rasa yang manis dan memiliki kandungan air yang banyak. Manfaat Semangka Manfaat semangka sangat baik untuk kesehatan karena banyak kandungan yang bermanfaat untuk kesehatan, berikut ini beberapa manfaat dan kandungan buah semangka. Kandungan...

Membuat Teh Daun Sirsak untuk Kanker

15.47 daun sirsak, kesehatan, teh daun sirsak, tek kesehatan, tips kesehatan No comments

Teh Daun Sirsak kini sudah banyak dikonsumsi untuk berbagai manfaat kesehatan terutama untuk melawan penyakit kanker. Khasiat Daun Sirsak dalam memerangi sel kanker sudah banyak dibuktikan melalui penelitian lokal maupun internasional. Dengan semakin terkenalnya manfaat daun sirsak ini, semakin banyak permintaan akan teh daun sirsak sehingga kini banyak teh daun sirsak yang beredar dipasaran bebas. Namun tahukah bahwa untuk membuat teh daun...

Makanan yang Dapat Menghindari Kerontokan Rambut

10.47 artikel kecantikan, kecantikan, kecantikan alami, kecantikan rambut, pencegah rambut rontok, perawatan kecantikan, rambut rontok, tips kecantikan No comments

Rambut adalah mahkota bagi wanita yang menunjukan kecantikan seorang wanita. Kebotakan adalah momok tersendiri yang lumayan menakutkan. Rambut adalah mahkota yang turut andil meningkatkan percaya diri dan performa kita. Lalu apa jadinya bila kebotakan mulai menghampiri Anda? Jangan panik, berikut paparan para ahli bagaimana tips kecantikan menyiasati dan mengurangi kebotakan melalui makanan yang kita konsumsi sehari-hari. Secara sederhana,...

Kamis, 02 Mei 2013

Kumpulan Aplikasi Android Terbaru dan Gratis 2013

Kumpulan Aplikasi Android 2013, Bagi anda yang menggunakan OS Android dan ingin download game atau aplikasi android yang populer silahkan bookmark saja halaman ini di browser anda caranya dengan menekan ctrl+D di keyboard lalu pilih Done.

Download Kumpulan Aplikasi Android 2013 Lengkap 193.9 MB

4G WiFi BT Signal Speed Boost v3.0 Android Application
Andy (Siri for Android) v5.7 Android Application
aTorrent PRO v2.0.1.4 Android Application
Auto Call Recorder Pro v3.32 Android Application
BetterBatteryStats v1.12 RC5 Android Application
BlueDUN v2.3 Android Application
Business Calendar v1.3.0.2 Android Application
Cloud SMS v2.0.8 Android Application
CM10.1 CM9 TouchWiz 5.0 theme v3.3.8 Android 4.0 Plus (Requires CM10 AOKP Rom) Android Application
Digital Alarm Clock - Pro v5.4 Android Application
Dream Home v1.1 Android Application
Dynamic Dice (App and Wallpaper) v1.0.5 Android Application
Falcon Pro (for Twitter) v1.4 Android Application
Fast Burst Camera v4.0.3 Android Application
Find My Phone v4.7 Android Application
HD Video Wallpaper Gallery Pro v1.1 Android Application
Holo Launcher HD Plus v2.0.1 Android 4.0 Plus Android Application
Holo Launcher Plus v2.0.1 Android Application
iPhone Messages 1.24 Android Application
JDownloaderRcPro v1.5.1 Android Application
KeyChord - Piano Chords Scales v2.7 Android Application
Next Launcher HD Theme for Go v3.0 Android Application
Notification Weather Pro v0.6.1 Android 4.1 Plus Android Application
PicSay Pro - Photo Editor v1.5.0.9b Android Application
Pocket Girlfriend v1.33 Android Application
Pocketbooth v1.3.1 Android Application
QuickShot HD Camera v2.0.1 Android Application
ROM Manager (Premium) v5.5.1.4-ROOTED DEVICES ONLY Android Application
Send It Pro v1.3 Android Application
Snap Camera v1.0.005 Android Application
Solar System Explorer v2.5.1 Android Application
Speed Boost Pro v4.1.3 Android Application
Unified Remote Full v2.7.1 Android Application
Unit Converter Plus v1.2.20 Android Application
Vignette v2012.12.4 Android Application
WakeVoice vocal alarm clock v4.0.6 Android Application
Weather Live v1.3 Android Application
Windows 8 for Android v1.6 Android Application

Kumpulan Aplikasi Android Terbaru dan Gratis 2013

Download Kumpulan Aplikasi Android 2013 Lengkap 193.9 MB

DESA TELUK MEKU

Game

Pages

Selasa, 21 Mei 2013

Limit dan kecil tak terhingga

Turunan

Notasi pendiferensialan

Integral

Integral tertentu

Integral tak tentu

Teorema dasar

Menghitung Effective Interest Rate Menggunakan Metode Numerik (Bagian 1)

METODE NUMERIK: Pengertian dan Kegunaan Metode Numerik

METODE NUMERIK: Pengertian dan Kegunaan Metode Numerik

Kata kunci artikel ini:

Kata kunci artikel ini:

Senin, 20 Mei 2013

Form Pegawai

Jumat, 03 Mei 2013

Manfaat dan Kandungan Buah Semangka

28 Mar 2013

Membuat Teh Daun Sirsak untuk Kanker

Makanan yang Dapat Menghindari Kerontokan Rambut

Kamis, 02 Mei 2013

Kumpulan Aplikasi Android Terbaru dan Gratis 2013

Kumpulan Aplikasi Android Terbaru dan Gratis 2013

Popular Posts

Blog Archive

Blog Archive

About Me

Blogger templates

Blog Archive

Blogger news

Blogroll

About